직접 인용을 할 때에는 큰 따옴표를 하고 받침이 없이 끝난 경우에는 '라고'를 쓰고 받침이 있게 끝난 경우에는 '이라고'를 쓰는 것이 맞습니다.
또한 이때의 '라고'와 '이라고'는 모두 조사입니다.
한편, 간접 인용에 쓰일 때의 '-라고'는 어미인데 이에 대한 표준국어대사전의 풀이는 다음과 같습니다.

-라고

((간접 인용절에 쓰여))
「1」((‘이다’, ‘아니다’의 어간이나 어미 ‘-으시-’ 뒤에 붙어)) ‘이다’, ‘아니다’가 활용한 형태인 어미 ‘이라’, ‘아니라’의 ‘-라’에 격 조사 ‘고23’가 결합한 말. 간접적으로 인용됨을 나타낸다.
 

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>>김지희님 글직접 인용을 할 때에는 큰 따옴표를 하고 간접 인용에서는 따옴표를 안하는 것으로 알고 있는데요.
그러면 '라고'와 '고'는 언제 쓰는 것인지요?
그리고 '라고'와 '고'는 어미인가요? 헷갈리네요. 답변 바랍니다.