소중한 질문 감사합니다.
질문하신 ‘가실게요’의 ‘-ㄹ게(요)’는 해할 자리에 쓰여
어떤 행동을 할 것을 약속하는 뜻을 나타내는 종결 어미입니다.
그리고 보통은 화자의 의지를 나타냅니다.
예를 들어 ‘다시 연락할게요.’나 ‘그 사람은 내가 맡을게.’, ‘남은 밥은 내가 먹을게.’와
같은 경우에서 씁니다. 
제시한 상황에서 ‘-ㄹ게요’를 쓰는 것은
청자의 의지에 대한 표현을 화자가 대신 이야기 하는 형태로 볼 수 있으나,
말씀하신 상황에서는 이러한 ‘-ㄹ게’의 뜻에 맞지 않으며 적절하지 못한 쓰입입니다. 
따라서 격식을 갖추어 쓰고자 하시면 “하시겠습니다./하십시오./하시겠습니까?”,
“가시겠습니다./가십시오./가시겠습니까?” 등과 같이 표현하는 것이 맞는다고 할 수 있습니다. 
 

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>>인유빈님 글개그 프로그램에서 사용하면서 유행어로 굳어진
'~하고 가실게요.'가 틀린 표현으로 알고 있습니다.
그렇다면, '하고 가시겠습니다.' 또한 틀린 표현인가요?
상대방에 대한 존중의 표현으로 , '이쪽으로 가실게요. 오실게요'가 틀린 표현이면,
'이쪽으로 가시겠습니다, 오시겠습니다.' 또한 틀린 표현인가요?
'이쪽으로 가시겠습니까? 오시겠습니까?' 도 틀린 표현인가요?
제가 병원에서 봉사를 하는데요. 병원에서는 이'~하실게요'라는 표현을
간호사들이 수시로 하더라구요
 
그렇다면 이 표현이 왜 틀린건지 정확히 좀 알려주세요.